Sismofísica básica · ampliación avanzada
Por qué el «balón de playa» tiene cuatro cuadrantes, y de dónde sale M₀ = μ·A·D̄. La deducción completa, desde la ecuación de ondas.
Las otras dos páginas de esta sección cuentan qué son el momento sísmico y el mecanismo focal. Ésta cuenta de dónde salen. Es el escalón siguiente: se parte de la ecuación de ondas en un medio elástico y se llega, sin saltos, al balón de playa que aparece en cualquier boletín sísmico.
El punto de partida es una idealización que hay que decir en voz alta. Una falla real es una superficie de kilómetros; aquí se la trata como un punto, porque se la mira desde muy lejos:
Por supuesto, ninguna falla es puntual; sin embargo, si sus dimensiones son lo suficientemente pequeñas comparadas con las distancias a la misma, donde estamos estudiando los campos de radiación de ondas producidas por su ruptura, entonces la podemos considerar como aproximadamente «puntual».
Beauperthuy Urich (2008), cap. 2
Con esa licencia, la estrategia es de superposición, en tres saltos:
Cada escalón se construye con el anterior. Y el medio se supone homogéneo, isótropo e infinito — otra idealización que conviene tener presente, porque es exactamente la que se paga después: es la razón de que un modelo de Tierra 1-D explique sólo una fracción de un sismograma real.
Aquí está la primera idea que cuesta, y el original la resuelve en dos frases. Un par de fuerzas paralelo a la falla explica el deslizamiento, sí — pero un par solo aplica un torque neto, y un torque neto haría girar el terreno. Y el terreno no gira.
Uno de los pares es el que actúa paralelamente en las paredes de la propia falla, y activa los desplazamientos relativos de las mismas […]. El otro par es perpendicular a la falla, y necesariamente está presente como una reacción del terreno que cancela el torque total (no ocurren aceleraciones angulares en el terreno).
Beauperthuy Urich (2008), cap. 2, §1
Saltándonos el desarrollo —los potenciales de Lamé, los potenciales retardados y la integración sobre el volumen fuente, que ocupan veinte páginas del original—, el resultado al que se llega para el campo lejano es éste:
$$\vec{u}_{p}(\vec{r},t)=-\frac{2}{4\pi\rho\alpha^{3}}\; \frac{\gamma_{1}\gamma_{2}\,\hat{e}_{r}}{r}\; \dot{M}_{12}\!\left(t-\frac{r}{\alpha}\right)$$
$$\vec{u}_{s}(\vec{r},t)=\frac{1}{4\pi\rho\beta^{3}}\; \frac{\bigl(2\gamma_{1}\gamma_{2}\hat{e}_{r}-\gamma_{2}\hat{e}_{1}-\gamma_{1}\hat{e}_{2}\bigr)}{r}\; \dot{M}_{12}\!\left(t-\frac{r}{\beta}\right)$$
Conviene leer despacio lo que dicen, porque casi todo el resto del sitio descansa aquí:
Falta la parte geométrica. Pasando a coordenadas esféricas, con $\theta$ polar y $\phi$ azimutal, los cosenos directores son $\gamma_{1}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi$ y $\gamma_{2}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi$, y la dependencia angular queda:
$$-\gamma_{1}\gamma_{2}\,\hat{e}_{r} \;=\;-\hat{e}_{r}\,\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\,\operatorname{sen}2\phi \qquad\text{(radiación P)}$$
$$2\gamma_{1}\gamma_{2}\hat{e}_{r}-\gamma_{2}\hat{e}_{1}-\gamma_{1}\hat{e}_{2} \;=\;-\operatorname{sen}\theta\bigl(\hat{e}_{\theta}\cos\theta\operatorname{sen}2\phi +\hat{e}_{\phi}\cos 2\phi\bigr)\qquad\text{(radiación S)}$$
Y ahora el momento del capítulo. Mirando el plano que contiene a la falla ($\theta=\pi/2$), la P se reduce a $-\hat{e}_{r}\operatorname{sen}2\phi$. Esa función cambia de signo cuatro veces en una vuelta. Cuatro veces: ni dos, ni seis.
Hasta aquí la falla era un punto. El paso siguiente la devuelve a su tamaño real, y de él sale la fórmula que se usa todos los días. Se toma un elemento de área $d\Sigma$ de la pared de falla, que tras la ruptura ha deslizado $\Delta U$ respecto a su homólogo del otro lado. Su contribución al momento es $dM=dF\,\delta x_{2}$, con $dF=\sigma_{12}\,d\Sigma$.
Aplicando la ley de Hooke en un medio isótropo, y usando que el deslizamiento no tiene componente perpendicular al plano ($U_{2}=0$):
$$\sigma_{12}=\mu\bigl(U_{1,2}+U_{2,1}\bigr)=\mu\frac{\partial U_{1}}{\partial x_{2}} \equiv\mu\frac{\Delta U}{\delta x_{2}}$$
Al sustituir, el $\delta x_{2}$ —esa «separación» entre las dos paredes que tiende a cero y que incomoda a todo el mundo la primera vez— se cancela:
$$dM=\mu\,\Delta U\,d\Sigma \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;M=\mu\iint_{\Sigma}\Delta U\,d\Sigma\;}$$
Si se llama $A$ al área rota y $\bar{D}$ al deslizamiento medio sobre ella, la integral es justamente $A\bar{D}$, y queda la forma conocida:
$$M_{0}=\mu\,A\,\bar{D}$$
El último paso del capítulo es el que cierra el círculo: convertir los cuatro cuadrantes en el objeto que aparece en los boletines.
Como quien corta a una naranja, se divide a la esfera en cuatro «cuartos» iguales mediante dos cortes diametrales mutuamente perpendiculares. Los dos cortes se orientan de manera que cada «cuarto» corresponda a un cuadrante de primera radiación P desde el foco: dos cuadrantes de compresión (C) y dos de dilatación (D); los de compresión se colorean de negro, y los de dilatación, se dejan de blanco.
Beauperthuy Urich (2008), cap. 2, §5
Uno de los dos planos es el plano de falla; el otro, el plano auxiliar. Y aquí viene la advertencia que el original no se salta, y que sigue siendo verdad en 2026:
La esfera focal por sí misma, no da información sobre cuál de los dos planos es el de falla, y cuál es el secundario; para ese conocimiento, es necesario recurrir a consideraciones adicionales, por ejemplo, la historia sísmica de la misma falla.
Beauperthuy Urich (2008), cap. 2, §5
| Resultado del capítulo | Dónde se usa aquí |
|---|---|
| El sismograma tiene la forma de $\dot{M}(t)$ | La inversión de la tasa de momento: lo que se recupera es $\dot{M}$, y el momento es su integral |
| Patrón $-\operatorname{sen}2\phi$, cuatro cuadrantes | El mecanismo focal 81°/78°/−175° del evento, y el factor de radiación que entra en el operador directo |
| $M_{0}=\mu A\bar{D}$ | La conversión entre momento y magnitud, y el reparto de momento entre las dos rupturas |
| Ambigüedad plano principal / auxiliar | Por qué hace falta geodesia para saber sobre qué falla ocurrió |
| Medio homogéneo, isótropo e infinito | La idealización que se paga: por qué un modelo de Tierra 1-D explica sólo una parte del sismograma real |