Método · inversión de la tasa de momento — La Guaira, 24-jun-2026
Del teorema de representación (Aki & Richards) al sistema lineal $\mathbf{d}=\mathbf{G}\mathbf{m}$ con no-negatividad: cómo se lee cuándo se libera el momento y cómo se prueba el hueco entre las dos acumulaciones.
La retroproyección resuelve dónde se radia la alta frecuencia. La inversión de la tasa de momento responde lo complementario: cuándo se libera el momento sísmico. Si la ruptura fue un frente único, en la ventana entre los dos orígenes tiene que haber liberación; si fueron dos rupturas separadas, no debe haber nada. La pregunta se contesta con una inversión lineal de formas de onda telesísmicas, con un diseño pre-registrado.
El desplazamiento que produce una fuente sísmica se escribe, por el teorema de representación (Aki & Richards, 2002), como la convolución de la tasa de momento con la función de Green del medio. En el campo lejano, la onda $P$ de una fuente puntual con mecanismo fijo es
$$ u^{P}(\mathbf{x},t) \;=\; \frac{1}{4\pi\rho\,\alpha^{3}}\,\frac{\mathcal{R}^{P}(\theta,\phi)}{r}\;\dot{M}_{0}\!\left(t-\frac{r}{\alpha}\right), $$donde $\dot{M}_0(t)$ es la tasa de momento (la incógnita física), $\mathcal{R}^{P}$ el patrón de radiación del mecanismo, $r$ el esparcimiento geométrico, $\rho$ la densidad y $\alpha$ la velocidad $P$. Lo esencial: la forma de onda es lineal en $\dot{M}_0(t)$ — todo lo demás (radiación, camino, atenuación) entra en un operador conocido.
Una fuente extensa es la superposición de elementos a lo largo de la falla. Si $g_j(\boldsymbol{\xi},t)$ es la respuesta elemental en la estación $j$ de un elemento en $\boldsymbol{\xi}$ —ya con $P$, sus fases de profundidad $pP$ y $sP$, el patrón de radiación, el esparcimiento y la atenuación $t^{*}$—, el sismograma es
$$ u_j(t) \;=\; \int_{\Sigma} \dot{m}(\boldsymbol{\xi},t)\,*\,g_j(\boldsymbol{\xi},t)\,\;d\Sigma . $$Se parametriza la fuente sobre la traza de la falla: nodos espaciales $\xi_a$ a lo largo del rumbo y nudos temporales $\tau_k$. La incógnita es la malla espacio-temporal $m(\xi_a,\tau_k)\ge 0$ (momento liberado en cada punto y cada instante). Discretizando la convolución,
$$ u_j(t_n)\;=\;\sum_{a}\sum_{k} m(\xi_a,\tau_k)\; g_j\!\big(\xi_a,\,t_n-\tau_k\big) \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\mathbf{d}=\mathbf{G}\,\mathbf{m}\;} $$donde $\mathbf{d}$ apila las formas de onda observadas de todas las estaciones, $\mathbf{m}$ es la malla $m(\xi,\tau)$ desenrollada, y $\mathbf{G}$ es el operador (grande y disperso) construido con las Green de Syngine / AxiSEM (modelo ak135f_2s, con $P+pP+sP$). En nuestro caso $\mathbf{G}$ es de 7 200 × 2 187 con ~11,4 millones de coeficientes no nulos.
El momento liberado no puede ser negativo, así que se resuelve un problema de mínimos cuadrados con la restricción $\mathbf{m}\ge 0$ y una regularización que penaliza soluciones ásperas:
$$ \hat{\mathbf{m}} \;=\; \arg\min_{\mathbf{m}\,\ge\,0}\;\; \big\lVert \mathbf{W}\,(\mathbf{d}-\mathbf{G}\mathbf{m})\big\rVert_2^{2} \;+\; \lambda^{2}\,\big\lVert \mathbf{L}\,\mathbf{m}\big\rVert_2^{2}, $$donde $\mathbf{W}$ pondera cada estación por su relación señal/ruido, $\mathbf{L}$ es un operador de suavidad y $\lambda$ se fija por discrepancia. Se resuelve con FISTA (gradiente proximal rápido, apto para el operador disperso y la no-negatividad). La calidad del ajuste se mide con la varianza explicada:
$$ \mathrm{VR} \;=\; \left(1-\frac{\lVert \mathbf{W}(\mathbf{d}-\mathbf{G}\hat{\mathbf{m}})\rVert_2^{2}}{\lVert \mathbf{W}\mathbf{d}\rVert_2^{2}}\right)\times 100\,\%. $$La ventana de la fuente se trunca en $t\lesssim 68$ s ($k_{\max}$): más allá, el dato no restringe la solución y ésta desbordaría en el espacio nulo (verificado con una prueba de padding).
La pregunta física —¿hubo momento en el tramo intermedio?— se convierte en un estadístico escalar fijado antes de ver el dato (pre-registro con huella SHA-256):
$$ f \;=\; \frac{\displaystyle\int_{20}^{32}\dot{M}(t)\,dt}{\displaystyle\int_{0}^{T}\dot{M}(t)\,dt}, \qquad \dot{M}(t)=\sum_{a} m(\xi_a,t), $$la fracción del momento total que cae en la ventana del hueco (20–32 s). Sobre el dato real, $f=0{,}4\,\%$, y forzarlo a cero no empeora el ajuste. Para que la comparación sea legítima pese a una VR modesta, las dos hipótesis —dos acumulaciones con hueco y frente continuo— se remiden con el mismo operador y la misma dificultad (sumándoles el residuo real del dato), y se calcula un índice de separación $S$ frente a sus distribuciones de referencia. Resultado: el dato es compatible con dos acumulaciones separadas por un hueco e incompatible con el frente continuo a 3,6 σ.